Funcţii derivabile

1. Derivate laterale          7. Teorema lui Fermat
2. Operaţii cu funcţii derivabile          8. Teorema lui Rolle
3. Derivatele funcţiilor elementare          9. Teorema lui Lagrange
4. Derivatele funcţiilor compuse          10. Convexitate/concavitate
5. Interpretarea geometrică a derivatei           11. Regula lui L'Hospital
6. Derivate de ordin superior

Definiţii

Fie funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in D\), D interval sau reuniune de intervale reale.
Definiţia 1. Se spune că f are derivată în punctul x0 dacă există \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).
Definiţia 2. Se spune că f este derivabilă în punctul x0 dacă există şi este finită \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).
Notaţie: Limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) se notează cu \(f'(x_{0})\)şi se numeşe derivata funcţiei în punctul x0.
Definiţia 3. Funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă pe mulţimea \(D'\subseteq D\) dacă f este derivabilă în fiecare punct din D'.
Problema 1. Să se demonstreze că funcţia \(f:\mathbb{R}-\left \{- 1 \right \},f(x)=\frac{x}{x+1}\) este derivabilă în punctul x0=1.
Soluţie. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0)}}{x-x_{0}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x-1}{2(x+1)}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{2(x+1)}=\frac{1}{4},$$ deci f este derivabilă în x0=1 şi \(f'(1)=\frac{1}{4}\).
Teoremă Dacă funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă în punctul \(x_{0}\subseteq D\), atunci f este continuă în punctul \(x_{0}\subseteq D\).