Fie funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(x_{0}\in D\), D interval sau reuniune de intervale reale. Definiţia 1. Se spune că f are derivată în punctul x0 dacă există \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\). Definiţia 2. Se spune că f este derivabilă în punctul x0 dacă există şi este finită \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\). Notaţie: Limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) se notează cu \(f'(x_{0})\)şi se numeşe derivata funcţiei în punctul x0. Definiţia 3. Funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă pe mulţimea \(D'\subseteq D\) dacă f este derivabilă în
fiecare punct din D'. Problema 1.Să se demonstreze că funcţia \(f:\mathbb{R}-\left \{- 1 \right \},f(x)=\frac{x}{x+1}\) este derivabilă în punctul x0=1. Soluţie. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0)}}{x-x_{0}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x-1}{2(x+1)}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{2(x+1)}=\frac{1}{4},$$
deci f este derivabilă în x0=1 şi \(f'(1)=\frac{1}{4}\). Teoremă Dacă funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă în punctul \(x_{0}\subseteq D\), atunci f este
continuă în punctul \(x_{0}\subseteq D\).